ECUACIÓN CUADRÁTICA

DEFINICIÓN 

Una ecuación cuadrática o de segundo grado es toda ecuación en la cual, una vez simplificada, el mayor exponente de la incógnita es 2.
 Así, ax2 + bx + c = 0 es una ecuación de segundo grado. 
En esta ecuación La “x” es la variable o incógnita y las letras a, b y c son los coeficientes, los cuales pueden tener cualquier valor, excepto que a = 0.

ECUACIONES CUADRÁTICAS COMPLETAS

Son ecuaciones de la forma ax2 + bx + c = 0 que tienen un término x2, un término x y un término independiente de x. 

Así, 2x2 + 5x + 3 = 0 es una ecuación cuadrática completa.

ECUACIONES CUADRÁTICAS INCOMPLETAS

Son ecuaciones de la forma: 

 ax2 + c = 0    que carecen del término x,    

ax2 + bx = 0  que carecen del término independiente. 

EJEMPLO: 

 2x2 + 3 = 0

2x2 + 5x  

GRÁFICAS DE ECUACIONES CUADRÁTICAS 

La gráfica de una función cuadrática siempre es una parábola.

Si a > 0 (positivo), la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba.

Si a < 0 (negativo), la parábola es convexa o con puntas hacia abajo.

RAÍCES DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA

Son los valores de la incógnita que satisfacen la ecuación. Toda ecuación cuadrática tiene dos raíces.

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS

Es hallar las raíces de la ecuación. Para ello hacemos uso de la fórmula:

El “±” expresa que la ecuación tiene ¡DOS SOLUCIONES! 

La parte   b2 – 4ac se le denomina discriminante:

• si  b2 – 4ac  es positivo, hay DOS soluciones
• si  b2 – 4ac  es cero sólo hay UNA solución,
• y si  b2 – 4ac  es negativo hay dos soluciones que incluyen números imaginarios.

ELEMENTOS   ECUACIONES CUADRÁTICAS

VÉRTICE
Las funciones cuadráticas tienen un máximo (si a < 0) o un mínimo (si a > 0).
Las coordenadas del vértice son: 

PUNTOS DE CORTES CON LOS EJES.
Punto de corte en el eje de las ordenadas (eje de las Y)
En el eje de ordenadas (Y), la primera coordenada es cero, por lo que el punto de corte en el
eje de las ordenadas lo marca el valor de c (0, c).
Puntos de corte en el eje de las abscisas (raíces o soluciones) (eje de las X)
Para calcular las raíces (soluciones) de cualquier función cuadrática, calculamos: f (x) = 0

Como la ecuación posee un término de segundo grado, entonces para resolverla usamos la
fórmula:


Entonces, las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática nos indican los puntos de
intersección de la parábola con el eje de las x (abscisas).
Respecto de esta intersección, se pueden dar tres casos:
- que corte al eje x en dos puntos distintos.
- que corte al eje x en un solo punto (es tangente al eje x)
- que no corte al eje x.
EJE DE SIMETRÍA O SIMETRÍA
El eje de simetría es una recta vertical que parte la parábola en dos ramas iguales.
Su ecuación está dada por:

Donde: x1 y x2 son las raíces de la ecuación de segundo grado en x, asociada a la parábola.

Resumen de la Función cuadrática completa f(x) = ax2+bx+c

VÍDEO EXPLICATIVO.

EJEMPLO: 
1. Dada la función cuadrática f(x) = - 2x² – 4x + 6,
a) hallar la ecuación de su eje de simetría.
b) hallar las coordenadas de su vértice.
c) comprobar si la gráfica se abre hacia arriba o hacia abajo.
d) hallar el punto de corte con el eje y.
e) hallar las raíces reales de la función (si las tuviere).

 DESARROLLO: 
a) Eje de simetría:

b) Coordenadas del vértice:

c) Como el parámetro a es negativo (es menor que 0), entonces la gráfica se abre hacia abajo y
el vértice es un máximo de la función.

d) El punto de corte o intersección con el eje y se obtiene cuando x = 0:

e) Para ver si tiene raíces reales y si son una o dos, vemos primero el discriminante:

Luego tiene dos raíces reales. Aplicamos la fórmula general: